Factor y^6 + 27
y^6 + 27
= (y^2)^3 + 27
= (y^2 + 3)(y^4 - 3y^2 + 9) , by the sum of cubes factoring method
Factor y⁴ - 3 y² + 9
y ⁴ - 3 y ² + 9 + 9 y ² - 9 y ² = ( y ⁴ - 3 y ² + 9 y ² + 9 ) - 9 y ² =
( y ⁴ + 6 y ² + 9 ) - 9 y ² =
[ ( y²) ² + 2 y ² ∙ 3 + 3 ² ] - 9 y ² = ( y ² + 3 ) ² - 9 y ² =
( y ² + 3 ) ² - ( 3 y ) ²
Apply the difference of squares formula:
a² - b² = ( a + b ) ( a - b )
( y ² + 3 ) ² - 9 y ² = ( y ² + 3 + 3 y ) ( y ² + 3 - 3 y ) =
( y ² + 3 y + 3 ) ( y ² - 3 y + 3 )
So:
y ⁶ + 27 = ( y ² + 3 ) ( y ⁴ - 3 y ² + 9 )
y ⁶ + 27 = ( y ² + 3) ( y ² + 3 y + 3 ) ( y ² - 3 y + 3 )